成人黄色图片 八元数是数字天地的边际? 宏伟的八元数, 方程式何时会丢失信息?

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一位确切才华横溢的不为人知的女性

露丝·穆芳 (Ruth Moufang) 在数学界不为人知。她比阿玛莉·埃米·诺特 (Amalie Emmy Noether) 年青一代，后者无疑是 20 世纪最伟大的数学家之一。请矜重——临了一句莫得提到女性这个属性。淌若你问任何有历史学问的专科数学家（而不是任何科学历史学家）谁是 20 世纪的伟东说念主——某个时刻——阿玛莉·埃米·诺特 (Amalie Emmy Noether) 的名字老是与亚历山大·格罗滕迪克 (Alexander Grothendiek) 等东说念主皆名。

然而露丝·穆方是八元数（一个八维数字系统）的女王，她研究了为什么这个系统是数字见识所能达到的最远距离。我认为我并不是唯一执这种不雅点的东说念主，因为我读过好多深受尊敬的数学史学家的作品，包括我酷爱的导师约翰·斯蒂尔威尔教化。露丝·穆方并莫得发现八元数——那是由阿瑟·凯莱和约翰·格雷夫斯在一百年前的19世纪40年代中期颓丧发现的。然而她和阿说念夫·赫尔维茨整个，是第一个潜入研究八元数的东说念主，它们到底是谁、是什么。她的问题与赫尔维茨的问题不同，但他们都潜入研究了八元数和性质的基本问题。毫无疑问，他们是第一个确切请问八维数字的考究数学的东说念主。

与埃米·诺特不同，露丝·穆芳的终身后果要少得多。但她后果虽少，却真义不凡。“不幸的是”，它们将咱们引向了不可逾越的边界，而且准确地告诉咱们为什么这个边界无法高出。我把“不幸的是”这个词放在引号里，因为对我来说，数学有身手了解我方的舛错和局限性，这一事实使得数学在其不完整中白玉无瑕、好意思得令东说念主咋舌。恰是这一宏伟的系统告诉咱们本人的舛错，才值得研究。也许我应该写“最奇妙”，而不是“不幸的是”。

露丝·穆芳的著述与数学的关系有点像库尔特·哥德尔的著述，后者讲明注解了数学（更准确地说，皮亚诺算术或任何包含皮亚诺公理的系统）无法讲明注解是完备的，也等于说，总有一些真述说无法从公理中得出。因此，哥德尔的著述闭幕了成立数学不错在纯公理基础上运作的探索，从而实现了数学的一个篇章。

感谢 Ruth Moufang 和 Adolf Hurwitz，咱们当前知说念八元数、汉密尔顿四元数和复数是高维数的唯一可能，它是实数的膨大伪场。我将在本文和下一篇文章中对“伪场”进行精准界说。

八元数是数字天地的边际，而露丝·穆方（Ruth Moufang）涉及了阿谁边际。

数字和字段的膨大

具体来说，Ruth Moufang 的作品探索了数字系统的膨大，以及它们不错走多远。要意会她的使命，咱们必须当先了解数字系统和格式数学系统的膨大，以及东说念主们为什么要研究它们。

咱们都认为咱们意会的实数ℝ （但我一直以为它处于千里着缓慢的边际，以致超过了千里着缓慢的边际）不错被认为位于由更基本的系统构建的膨大塔中。

因此，咱们从当然数 ℕ 初始，包括 1、2、3……。咱们使用“ n ”暗示“当然数”，即芝麻街的计数器。然后咱们漠视一个问题：当a和b已知时，对于“未知”的x ，咱们需要什么来解格式为x+a=b的方程？对于x+ 3 = 5的情况，当然数就满盈了，然而对于x+ 5 = 3 的情况呢？

因此，咱们取得了整数 ℤ（咱们使用来自德语Zahl “数字”的 zed，与英语“Tally”同源），即当然数以及零和负整数。零是加法恒等式，即当它与某个数相加时，它不会改革某个数。负数是相应数的加法逆元。咱们必须将它添加到某个数上才能拆除加法。因此，淌若咱们将三加到一个数上取得五，x+ 3 = 5，那么咱们必须添加负“像”来拆除此操作并复兴咱们的x。因此，明确地，咱们解方程x+ 3+(-3) = 5+(-3) ⇒ x= 2。一样，加上零和负数，x+ 5 = 3 由x =-2解出，具体来说，x必须是 2 的加法逆元。

有一个复杂而唠叨的格式膨大历程，将负数界说为格式为 3 + -5≋4 + -6≋2+ -4 的对的等价类……并将这些类压缩为唯一实体（如本例中的“-2”）。但临了一段是基本念念想。它的直观对简直整个谢世的东说念主来说都是一目了然的：岂论是好是坏，它都使基于债务的货币体系以及自古以来从该发明中产生的整个可怜成为可能。咱们的当代系统衰退 Jubilee 的安全阀，是负数见识的一个更隧说念的直不雅例子。

将当然数膨大为整数意味着咱们不错使加法可逆，或可逆。

因此加法不错保存信息。你老是不错通过添加逆元来复兴被加的数，从而明确地恢复兴始数。

除了当然数以外，还有另外两种主流“膨大”界说了进犯的数字系统。它们是：

有理数 ℚ 是整数 ℤ 的精准且唯一的最小膨大，使乘法和加法可逆，且乘法分散在加法上，从而给出特征为 0 的最小可能域和最小可能无穷域。此外，有限域的唯一可能性是其特征必须是素数p，何况它由数字 {0，1，2，3，…， p- 1} 以及模p加法和模p乘法组成；

实数 ℝ 是有理数 ℚ 的精准且唯一的最小膨大，以保证度量完备并确保每个柯西序列都相对于“民风的”欧几里得范数经管。（亚历山大·奥斯特罗夫斯基还讲明注解了存在对于p -Adic 范数的度量完备，这些与欧几里得范数整个组成了有理数可能的整个度量完备的天地）；

以及实数的三个外延：

复数 ℂ 是实数 ℝ 的精准且唯一的最小膨大域，可确保代数基本定理，即每个多项式至少有一个根。与实数一样，复数亦然一个域，这意味着 (ℝ，+) 和 (ℝ，.) 都是阿贝尔群，乘法"." 可对加法进行分拨。复数餍足代数基本定理偏执无数令东说念主咋舌且各种的讲明注解，因此是代数上最小的阻塞域，因此普通被视为数字的最终见识；

然而，淌若咱们放宽场定律条款，还存在另外两种可能性。淌若咱们允许乘法不交换，那么复数 ℂ 不错膨大到四维四元数 ℍ（以爱尔兰数学家和博学家威廉·罗恩·汉密尔顿定名），它有三个颓丧的虚数单元（-1 的平方根）i、j和k，其中格式为z ₀= a+b i∈ ℂ 的多项式的每个根都变成格式为a+b ᵢ i+b ⱼ j + b ₖ k的根的单元 2 球面，其中b ᵢ² +b ⱼ²+ b ₖ²=1。单元量级四元数，格式为 exp( a ᵢ i+a ⱼ j + a ₖ k ) 的数（即纯四元数的指数），具有乘法运算，口角交换的三维李群 SU(2)，它取代了交换的、一维单元量级复数 exp( i ) 圆群。四元数是一个斜域，即乘积非交换的域。四元数 ℍ 亦然凯莱-迪克森构造将复数 ℂ 的维度加倍而取得的限度；

淌若咱们像 Ruth Moufang 所研究的那样，允许乘法不交换，并餍足较弱的连络律，即轮流律或轮流性（我心爱称之为“粘性乘法”），那么Cayley-Dickson 构造将产生八维轮流除法代数，即八元数 。八元数普通暗示为 ，但由于这不是通用的，请允许我在文章中使用 ，以操心 Ruth Moufang，这是一种访佛于 ℍ 的适合操心，代表“汉密尔顿”。八元数和乘法不再是一个群，因为连络律被轮流律取代，但它们保留了四元数李群的大部分进犯结构。八元数和乘法不是变成李群，而是变成一个理会轮流穆方环，其关联穆方李代数与李代数透顶访佛，使得单元八元数的 7 球面变成具有 7 维穆方李代数的光滑穆方环，因此简直透顶访佛于单元四元数的李群 SU(2)。

然后，感谢 Ruth Moufang 和 Adolf Hurwitz 的使命，咱们知说念不可能存在其他数域见识，我将不才一篇文章中展示！

保存信息的最小结构

但咱们当先要矜恤的是 Ruth Moufang 的第一个发现，其时她矜恤的是最小结构，以便大略不丢失信息地求解方程a . x=b 。她的使命拓宽了群的见识，普通群被认为是这种最小结构。

整数ℤ 与加法 + 整个变成一个群，这是数学中的基础见识。

群 (，.) 是由集聚 与运算 . 组成的，何况：

集聚 在运算下是阻塞的。也等于说，淌若an和b属于集聚 ，那么ab也属于集聚 ，咱们的运算不会产生任何新的东西。

有一个恒等元素，即e。对于具有加法的整数群 (ℤ， +)，恒等式为 0。对于具有乘法的有理数群 (ℚ， ×)，恒等式为 1。在 ℤ 中，0 不会改革与其相加的整数，在 ℚ 中，1 不会改革与其相乘的有理数。在咱们更一般的秀美中，ea=a。

对于每个元素a ，都有一个逆元素a -1 不错取销该操作。即aa -1=1。在具有加法的整数群 (ℤ， +) 中，a的逆是 - a 。在具有乘法的有理数群 (ℚ， ×) 中， a的逆是 1/ a。

（对本文至关进犯）：该运算具有连络性。这意味着，在屡次应用该运算时，应用章程不足轻重，因此咱们不需要使用括号。即 a.(bc)=(ab).c；岂论咱们先右乘b乘以c再左乘限度乘以a，已经先进行左乘，都没磋议系（请矜重，群论家普通将群运算简称为“乘法”或“乘法”）。

请矜重，该运算可能是也可能不是交换的。在一般群中，ab并不老是与ba调换，尽管咱们常常将 . 或 *（两个常用于详尽群运算的秀美）简写为“乘”。矩阵乘法不是交换的。但淌若该运算是交换的，咱们称该群为阿贝尔群。在本文和下一篇文章中，咱们不会再商量阿贝尔群。

仅从四个群公理就不错得出四个进犯事实：

每个右身份也老是左身份，反之亦然；

每个左逆亦然右逆，反之亦然；

群体身份是唯一的；何况

给定元素的逆亦然唯一的。

对于本文，咱们需要承认群的一个关节特色，但缺憾的是，它常常莫得被强调，不错非追究地表述如下：

群组是活动时代保存信息所需的最小结构

这意味着，每当咱们对群成员进走时算时，比如咱们将x乘以a取得ax=b，咱们老是不错唯一地复兴咱们蓝本的群成员x行为a -1. b。

我将通过讲明注解该述说来讲明我的有趣！东说念主们普通不会在严格的界说之前作念出讲明注解，然而，我已经要说一下。

咱们先试着去掉公理 1。这么ab=c的限度就不错超出所斟酌的集聚 ，因此c与其他元素的乘积以致可能莫得界说，而且无法仅使用 . 运算来回转这个等式。是以咱们虽然不成毁灭公理 1！

让咱们尝试去掉公理 2。这意味着一定存在格式为ax=a的方程，且在 中莫得解x。因此并非每个所需格式的方程都是可解的。倒霉！

让咱们尝试解脱公理 3。这意味着必须存在格式为ax=e的方程，且在 中莫得解x。一样，并非每个所需格式的方程都是可解的，再次：大错特错！

当前事情变得兴致了。咱们何如措置xa=b？让咱们先右乘双方a -1。毕竟，咱们刚刚看到一定有一个元素a -1 使得aa -1= e。因此，咱们取得 ( xa ) .a -1= ba -1。但当前望望左边。淌若莫得连络律，咱们就不成简便地将 ( xa ) .a -1 简化为x.(aa -1)= xe=x。咱们莫得目的赓续下去。

因此，连络律是使唯一方程解成为可能的一个可能的基本公理。淌若咱们去掉连络律，咱们就不成再解格式为xa=b或ax=b的一般方程。是以，是的，连络律在这里是必不可少的。但它不是唯一可能的基本因素。这等于 Ruth Moufang 介入的场合。

与其他群公理不同，还有其他更弱格式的连络律不错替代连络律，以允许格式为x*a=b或a*x=b的方程唯一可解。

践诺上，咱们只需要 ( xa ) .a ⁻¹= x. ( aa ⁻¹) 以及a ⁻¹.( a . x )=( a ⁻¹. a ). x，即元素幂的连络律： ( xa ⁿ) .a ᵐ= x.(a ⁿ .a ᵐ)= xa ⁿ⁺ᵐ 和a ⁿ.( a ᵐ. x )= a ⁿ⁺ᵐ. x，然后等式就有解了。更完整地说，Ruth Moufang 用四个 Moufang 恒等式取代了连络律：

z. ( x. ( zy )) = (( zx ). z ). y

x. ( z. ( yz )) = (( xz ). y ). z

( zx ). ( yz ) = ( z. ( xy )). z

( zx ). ( y. z ) = z. (( xy ). z )

这些恰是使左和右身份独有且调换所需要的。正如我底下解释的那样，践诺上在某种真义上咱们只需要其中一个身份，其他整个身份都会随之而来。

独揽这种最小弱连络律，咱们不错唯一地求解格式为a . x = b和x . a = b 的方程，而且逆a -1 是唯一的（颓丧于b和x而仅取决于a），何况单元元亦然唯一的，即，唯唯独个a -1 使得x=a -1. b不错求解ax=b和/或a -1 不错颓丧于右边求方程的逆，即，当b≠c 时，咱们长久不需要不同的a -1 来求解ax=b和ax=c 。

因此，Moufang 轮回是最小结构，比“保存”信息的组更通用，即咱们耐久不错唯一地拆除组操作。

因此，每个群都是一个 Moufang 环，但有些 Moufang 环（举例带有乘法的八元数）不是群。因此，有一些进犯的、非庸俗的 Moufang 环例子不是群。

淌若您很难意会这些见识，淌若咱们感到脾性焦躁且具有窒碍性，咱们不错为“窒碍者 Shiva”界说一个操作 ∫（因为 ∫ 是德语中“sh”或“sch”的音标）！它的窒碍性意味着它不是很兴致，因为我将界说a ∫ b =1，耐久如斯。也等于说，任何数字与任何其他数字进行 Shiva 运算都会产生常数 1。这是一个界说完整的操作，它以致是连络性的。但它会窒碍信息：由于任何a与b进行 Shiva 运算都会产生调换的限度，因此咱们不知说念b是什么，方程式也不会提供磋议其未知数的信息！咱们将不才一篇文章中看一个访佛 Shiva 的操作示例，该示例解释了为什么八元数是可能的最高维数见识。

几个关衔尾构

在谨防研究八元数之前，咱们需要措置磋议信息保存的最小结构这一问题的一些机密之处。有几个相称密切关联的见识必须小心折柳。

当先，有一个拟群的见识，不错赋予它一个“法定”界说，即一个具有一个二元运算 * 的集聚 的结构，其中a*x =b和y*a=b耐久具有唯一解x和y。唯一性是法定的 — 咱们只罗致界说中具有唯一性的结构。但左手和右手解无谓调换，何况一般来说，咱们有x≠y。

拟群的一个等价界说是既是左拟群又是右拟群的实体：

对于左拟群，咱们的集聚 有两个二元运算：“乘法”* 和左除法 \，这么对于任何x、y， x*(x \ y)=x \ (x*y)=y 。也等于说，左侧元素的乘法和除法，岂论以何种章程，都没灵验果；

对于右拟群，咱们的集聚 有两个二元运算：“乘法”* 和右除法 /，使得对于任何x、y， (y / x ) *x=(y * x )/ x=y 。也等于说，右侧元素的乘法和除法，岂论以何种章程，都没灵验果；

对于透顶拟群，岂论以何种章程在左侧或右侧进行乘法和除法均无影响。但请矜重，即使存在左右逆元且每个逆元都是唯一的，它们也可能不是合并元素。

其次，轮回仅仅一个既有左恒等式e ₁ 又有右恒等式e ₂ 的拟群。这个公理立即意味着左恒等式和右恒等式必须调换何况恒等式是唯一的。对于e ₁. e ₂= e ₂（淌若咱们将e ₁ 视为e ₂的左恒等式），何况对于e ₁. e ₂= e ₁（淌若咱们将e ₂ 视为e ₁的右恒等式），因此左恒等式和右恒等式尽头e ₁= e ₂= e，何况简直调换的论证标明任何恒等式都必须等于e，因此恒等式必须是唯一的。把柄 fiat 拟群界说，左逆和右逆亦然唯一的，但无谓互相调换。

还有两个不同的见识，即左 Bol 轮回和右 Bol 轮回。这些结构由一组左或右（分别）乘法和第二个左或右（分别）除法运算组成，因此，岂论以何种章程进行左乘法和左除法，都不会产生影响，右乘法和右除法亦然如斯。

Moufang 环路是由 Ruth Moufang 发现的，简言之，它是一种同期是左 Bol 环路和右 Bol 环路的环路。

这意味着左乘和右乘是调换的运算，左除和右除亦然调换的运算。此外，乘法逆元是唯一的（把柄 Moufang 轮回公理讲明注解这少许——记着，唯独连络性较弱——通过假定两个元素b ₁、b ₂，都餍足逆元b ₁的变装。a =b ₂。a =e）。

因此，穆方轮回餍足上述群公理 1 至 3，但它具有更弱、更一般的连络性见识，称为替代性（另请参阅此处）。穆方轮回亦然双连络的：也等于说，在穆方轮回中由纵情两个元素生成的子轮回中，受限乘积变为连络的，因此由两个元素生成的唯一子轮回践诺上是群。

这里还有另一个进犯事实：任何餍足 Moufang 恒等式之一的拟群都必须有一个恒等式，因此是一个 Moufang 环，从而餍足整个四个 Moufang 恒等式。

但 Moufang 环路并不是 Ruth Moufang 的主要使命。她发现它们仅仅为了研究八元数 的几何格式成人黄色图片，并匡助请问为什么八元数是数字见识的“临了前沿”，以及为更高维度的 Desargue 定理提供确切令东说念主骇怪的几何反例。当前让咱们更谨防地探讨八元数的一些细节以及她的发现。